Программы с нон-негоцируемыми (НН) фишками используются казино для предоставления высоким игрокам денежных возмещений за их игру. Возмещение основано на возврате фиксированного процента всех потерянных игроком НН фишек. В предыдущем посте я рассмотрел основы математики программ НН, включая вычисление эффективного преимущества казино для каждой использованной НН фишки. Также я показал, как вычислить T-Win для игрока на основе точного числа использованных НН фишек. В этом посте мы рассмотрим метод анализа риска, называемый интервалами доверительных интервалов.
Чтобы следовать за мной и использовать эту информацию самостоятельно, пожалуйста, загрузите и откройте эту электронную таблицу:
Интервалы_доверительных_интервалов_по_фишкам_rolling_Chip
В этой таблице я делаю следующие предположения:
- Игрок делает только ставки на игрока и банкира. Игрок не делает ставки на ничью.
- Игрок делает равное количество ставок на игрока и банкира.
Более точные версии этой таблицы могут быть созданы для учета любого стиля ставок, но это выходит за рамки моей цели. Для вычисления доверительных интервалов с использованием этой таблицы, пользователь вводит процент возмещения НН, количество используемых НН фишек и номинал НН фишек.
Вот пример ввода для игрока верхнего уровня, который получает денежное возмещение НН в размере 1,0%. Этот пример предназначен для игрока, который использует 500 НН фишек с номиналом $10 000.
Учитывая, что НН фишка в среднем используется около 2,211 раз, прежде чем ее потеряют (как я показал в предыдущем посте), на это потребуется в среднем около 1 105 раздач, чтобы израсходовать (потерять) эти фишки. При 40 раздачах в час в игре с сжатием, это займет в среднем около 27,6 часов, чтобы потратить эти фишки. Учитывая темп игры в баккара, игрок может легко достичь такого количества часов за столом в течение длинного уик-энда.
Вопрос, на который отвечают доверительные интервалы, заключается в следующем: какой разумный диапазон окончательных результатов для этого игрока в конце его поездки?
Чтобы сделать это более точным, слово «разумный» заменяется разными процентами. Так, например, с «доверительными интервалами 90%», слово «разумный» заменяется на «90% времени». Затем мы задаем вопрос: в каком диапазоне окончательных результатов мы ожидаем, что этот игрок попадет в 9 из 10 его поездок? Следовательно, 1 из 10 поездок наш игрок выбывает из этого диапазона, что означает, что 1 из 20 поездок его результаты будут ниже интервала, и 1 из 20 поездок его результаты будут выше интервала.
Для игрока в приведенном выше примере (возмещение = 1%, 500 НН фишек, номинал $10 000, 1% возмещение по НН фишкам), доверительный интервал 90% приближенно представлен следующим образом:
- Нижний 90% интервал = выигрыш казино $590 000
- Верхний 90% интервал = выигрыш игрока $440 000
Другими словами, 9 из 10 поездок результаты игрока должны находиться где-то между потерей $590 000 и выигрышем $440 000. Следовательно, 1 из 20 поездок (в среднем) этот игрок потеряет больше $590 000. Точно так же, 1 из 20 поездок (в среднем) этот игрок выиграет больше $440 000.
Другой взгляд на эти числа заключается в том, что если 2000 игроков посещают казино и каждый использует 500 НН фишек номиналом $10 000, и каждый получает те же 1% денежного возмещения по НН фишкам, то мы ожидаем (в среднем), что около 100 таких игроков потеряют $590 000 (или более) и 100 из этих игроков выиграют $440 000 (или более). Мы ожидаем, что оставшиеся 1800 из этих 2000 игроков (в среднем) будут иметь результаты между этими двумя значениями.
В следующей таблице показаны точные нижние и верхние пределы для интервалов доверительных интервалов 90%, 95%, 99% и 99,9%:
Ссылаясь на последний ряд этой таблицы, для игрока, описанного выше, играющего 500 НН фишек, 99,9% времени его результат должен находиться между потерей около $1,104 миллиона и выигрышем около $951 тысячи.
Другой способ рассмотрения диапазона доверительных интервалов 99,9% заключается в том, что если 2000 игроков, подобных описанному выше, посещают казино, и каждый из них использует 500 НН фишек номиналом $10 000, и каждый из них получает те же 1% денежного возмещения по НН фишкам, то в среднем 1998 из этих 2000 игроков будут находиться между нижним и верхним пределами 99,9%, то есть между потерей $1,104 миллиона и выигрышем $951 тысячи. Один игрок из 2000 (в среднем) должен потерять более $1,104 миллиона, просто по случаю. Точно так же, один игрок из 2000 (в среднем) должен выиграть более $951 тысячи, просто по случаю.
Чтобы объяснить, как вычисляются интервалы доверительных интервалов, давайте ближе рассмотрим случай 90%. Верхние и нижние пределы определяются рассмотрением кривой Гаусса. Мы ищем область кривой Гаусса, центрированную посередине кривой, которая соответствует 90% от ее общей площади. Следующая картинка иллюстрирует эту область:
С точки зрения азартных игр, средняя точка (представленная греческой буквой μ для «среднего») представляет собой теоретические потери игрока в казино. Это отрицательное число, потому что игрок проиграл. Стандартное отклонение (представленное греческой буквой σ) просто стандартное отклонение, связанное с игрой с использованием скольких-то НН фишек, которые использовал игрок.
Из этой картинки видно, что 90% кривой находится в пределах 1,64 стандартных отклонений от среднего (более точно, 1,644853627 стандартных отклонений). Нижний и верхний пределы для интервалов доверительных интервалов 90% получаются с использованием следующих формул:
- Нижний предел доверительного интервала 90% = μ — 1,64σ
- Верхний предел доверительного интервала 90% = μ + 1,64σ
Чтобы вычислить интервалы доверительных интервалов, нам нужно определить ожидаемые потери μ и стандартное отклонение σ для игрока, который играет и использует 500 НН фишек номиналом $10 000 в рамках программы денежного возмещения 1,0%. Для этого мы используем комбинаторный анализ для баккара, играющегося с НН фишками (опять же, см. предыдущий пост). Вот он:
Из этих данных видно, что выгода казино за каждую НН фишку, при игроке, делящем свои ставки поровну между ставками на игрока и банкира, с 1,0% возмещением, составляет примерно
(1,371% + 1,693%)/2 = 1,532%.
Поскольку этот игрок использует НН фишки номиналом $10 000, игрок теряет в среднем $153,20 за каждую НН фишку. Играя 500 фишек, теоретические потери игрока на поездку составляют примерно
μ = 500 x -$153,20 = -$76 600.
Стандартное отклонение на каждую НН фишку для игрока, который делит свои ставки равномерно между ставками на игрока и банкира, составляет примерно
sqrt((1,388^2 + 1,405^2)/2) = 1,396.
Играя 500 фишек номиналом $10 000, стандартное отклонение для поездки составляет примерно
σ = sqrt(500) x $10 000 x 1,396 = $312 150.
Следовательно, нижний и верхний пределы для доверительного интервала 90% приближенно составляют (с некоторыми округлениями),
- Нижний = (-$76 600) – (1,64) x ($312 150) = -$590 000
- Верхний = (-$76 600) + (1,64) x ($312 150) = +$435 000
Более точные значения расчетов потерь игрока и стандартного отклонения приведены в предоставленной с этим постом таблице. Эти более точные значения указаны в изображении «Доверительные интервалы игрока», представленном выше.
В следующем слайд-шоу показано количество стандартных отклонений, используемых для интервалов доверительных интервалов 90%, 95%, 99% и 99,9%.
Что думает тот игрок из 2000, который выиграл более $951 тысячи, о своем уровне мастерства в игре в баккара? Можно предположить, что он считает себя знающим что-то о том, как ставить в этой игре, даже если он не может сказать вам, что это за знание. Вероятно, его друзья видят его так же, и хотят ставить с ним в следующий раз, когда они будут играть вместе. Игрок может даже публиковать сообщения на интернет-форумах, хвастаясь о том, какой он «хороший». Он может написать небольшую книгу или статью в журнале, объясняя свою несуществующую систему. Как сказал Пенн Джиллет, «удача — это вероятность, принимаемая лично». Это нигде не более очевидно, чем с высокими игроками, выигрывающими в баккара.
С другой стороны, что думает казино о том игроке из 2000, который выиграл более $951 тысячи? Такой игрок должен существовать. Ничего нельзя сделать, чтобы предотвратить появление победителей такого рода с частотой приблизительно 1 из 2000. Казино не обладает способностью изменить физические законы вселенной, несмотря на все свои усилия. Казино, которые не знакомы с анализом рисков, часто реагируют слишком бурно на выигрывающих игроков.
Знание полезно, независимо от того, с какой стороны стола вы выбираете играть.
